Треугольник Паскаля и Арифметическая прогрессия

 

Треугольник Паскаля.

Прогресс человечества во многом связан с открытиями, сделанными гениями. Одним из них является Блез Паскаль. Его творческая биография еще раз подтверждает истинность выражения Лиона Фейхтвангера «Талантливый человек, талантлив во всем». Все научные достижения этого великого ученого трудно перечесть. К их числу относится одно из самых элегантных изобретений в мире математики — треугольник Паскаля.

Портрет Паскаля 

Что такое треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами (в математике биномиальные коэффициенты – это коэффициенты в разложении бинома Ньютона (1+х)ⁿ по степеням x. Коэффициент при x^k обозначается ({\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}n/k)  или{\displaystyle \textstyle C_{n}^{k}} Cn/k и читается «биномиальный коэффициент из n по k»), записанными в таблицу, которая выглядит как равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел, из-за этого треугольник можно продолжать до бесконечности.

 

 

                          Свойства треугольника Паскаля.

Свойство 1. (основное)

Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно.

 

Свойство 2.

Первая диагональ треугольника Паскаля – это натуральные числа, идущие по порядку.

Свойство 3.

Вдоль второй диагонали треугольника выстроены треугольные числа (Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел) и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Свойство 4.

Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).

Свойство 5. (числа Фибоначчи)

Паскаль, наверное, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке — элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел). Красным цветом выделены числа Фибоначчи. Сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи.

Свойство 6.

Сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел, стоящих на нечетных местах.

Свойство 7.

Сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды.

Свойство 8.

Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ...

 

Свойство 9.

Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих пространство, ограниченный теми диагоналям, на пересечении которых стоит это число.

Свойство 10.

Каждое число треугольника Паскаля равно сумме предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.

Свойство 11.

Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.

Свойство 12.

Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения n (a+b) по степеням.

Решение задач по комбинаторике с помощью

треугольника Паскаля.

Задача 1.

В магазин доставили 6 компьютеров, их необходимо расставить по 3 в ряд. Сколькими способами можно это сделать?

Решение 1.

Эту задачу можно решит с помощью бинома Ньютона

Или с помощью треугольника Паскаля. Для этого нам нужно найти шестую строку и третью диагональ (номер строки определяется общим количеством компьютеров, а номер диагонали тем количеством компьютеров, сколько их должно стоять в ряду).

На их пересечении будет ответ.

Примечание: если вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 6 с 3 строкой, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться.

Решение 2.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

 

 

Задачи на нахождение биномиальных коэффициентов.

Задача 1.

Найти разложение (х+3)³

Решение.

Воспользуемся треугольником Паскаля.

Поскольку треугольник Паскаля строится с помощью биноминальных коэффициентов, то каждый ряд будет соответствовать (a+b) в степени равной номеру строки.

Из этого следует, что ³ 1х³+3х²3+3х3²+3³=х³+9х²+27х+27

 

Нахождение степеней числа 11 с помощью треугольника Паскаля.

Задача 1.

Найдите 11³.

Решение.

Для вычисления этой задачи нам необходимо найти ряд в треугольнике, номер которого будет соответствовать степени, в которую нам необходимо возвести 11.

Если степень меньше пяти, то необходимо просто переписать числа в ряду по порядку.

Третий ряд записывается так: 1 3 3 1.

Поэтому 11³=1331

 

 

Из выше изложенного можно сделать вывод, что треугольник Паскаля целиком состоит из арифметических прогрессий

 

 

 Источники информации:

https://i.ytimg.com/vi/6TXH5pwPRH8/hqdefault.jpg

Следующая страница...