Арифметическая прогрессия 

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a₁, a₂,..., a_n,... для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

·         a_n+1= a_n + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

 1.   Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.

Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23... — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

2.   Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.

Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 42... — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.

3.   Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.

Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23... — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.

 

 

 Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Поэтому:

и т.д.

Значит, 

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу a_n = a₁ + d * (n - 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Формулы арифметической прогрессии

 Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

 

1.   Рекуррентной формулой: 

2.   Формулой n-го члена: a_n = a₁+ d · (n - 1).

3.   Формулой вида a_n = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (a_n), где a₁ = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

 

1.   Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:

a₂ = a₁ + d = 0 + 2 = 2;

a₃ = a₂ + d = 2 + 2 = 4;

a₄ = a₃ + d = 4 + 2 = 6;

a₅ = a₄ + d = 6 + 2 = 8.

2.   Используем общую формулу a_n = a₁ + d * (n - 1).

По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

a₁₀ = a₁ + 2 * (10 - 1) = 0 + 2⋅9 = 18.

 

 

Фигурные числа

С незапамятных времен люди, оперируя с числами, выстраивали на земле замысловатые фигуры из камешков. С какой целью? Ответить на этот вопрос непросто. Наблюдали ли вы, как ласково раскладывает кошка на пороге хозяйского дома свои ночные трофеи? Она не только аккуратно уложит мышек в ряд, но и отсортирует их по размеру. А как паук плетет такие идеально симметричные узоры? Снова загадка. Однако вернемся к числам. Пифагорийцы считали, что фигурные числа скрывают тайны мироздания. К ним проявляли интерес Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие математики античности. В средние века фигурные числа занимали Пачоли, Кардано, Фибоначчи и др., а в Новое время – Ферма, Коши и Эйлера. Мы же ограничимся только одним классом фигурных чисел – многоугольными (рис. 1).

Любая арифметическая прогрессия с a_n = 1 + (n − 1)d,

Рис. 1. Фигурные числа: а) треугольные, б) квадратные, в) пятиугольные, г) шестиугольные

где n = 1,2,..., а d – целое число, порождает прогрессию второго порядка – последовательность (d+2)-угольных чисел. Если количество углов многоугольника обозначить m, то исходную прогрессию можно задать формулой a_n = 1 + (n − 1)(m − 2), а соответствующую прогрессию 2-го порядка –  . Ниже в таблице представлены числа, соответствующие m = 3,4,5,6.

 

   

Фигура			Числа			Sn
Треугольник	1,	3,	6,        10,	15,	...
Четырехугольник	1,	4,	9,        16,	25,	...	n2
Пятиугольник	1,	5,	12,      22,	35,	...
Шестиугольник	1,	6,	15,      28,	48,	...	n(2n − 1)

Источники информации:

Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс (skysmart.ru) 

Следующая страница...